MyBot в 20:53, 13 января 2014

2014-01-13T20:53:11Z

Новая страница

{{Остатье| ТИП СТАТЬИ = 1
| АВТОР1 =
| АВТОР2 =
| АВТОР3 =
| СУПЕРВАЙЗЕР =
| ПРОЕКТ =
| ПОДТЕМА =
| КАЧЕСТВО =
| УРОВЕНЬ =
| ДАТА СОЗДАНИЯ =
| ВИКИПЕДИЯ =
| НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ =
}}'''Ле́мма Шу́ра''' — утверждение, являющееся одним из основных при построении [[Представление группы|теории представлений групп]].

== Формулировка леммы ==

Представление группы ''G'' [[автоморфизм]]ами некоторого [[Векторное пространство|векторного пространства]] ''GL(V)   σ:G→GL(V)'' называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного подпространства ''V'Ì V'' (т.е. такого, что для всех элементов группы ''σgV'Ì V' '') и отличного от 0 и самого ''V''.

'''Лемма Шура''':Пусть ''f'' — линейное отображение векторных пространств ''f:V1→V2 '', над некоторым полем ''K'' такое, что существуют два неприводимых представления ''σ:G→GL(V1)'' и ''τ:G→GL(V1)'', такие, что ''τgf=fσg'' для всех ''g'' . Тогда:

1)Если ''f'' не является [[изоморфизм]]ом, то ''f'' — нулевое отображение.

2)Если ''V1=V2'' конечномерны над [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]] полем ''K'' и ''σ=τ'', то ''f'' является умножением на некоторый элемент поля ''f:x→λx''.

== Доказательство ==

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть ''E'' и ''F'' [[Модуль над кольцом|модули]], являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой [[гомоморфизм]] ''f:E→F'' является либо нулевым, либо [[изоморфизм]]ом на ''F''.

В самом деле, так как ''Ker f'' и ''Im f'' являются подмодулями, то если f ненулевой гомоморфизм, имеем ''Ker f=0'', а ''Im f=F'', то есть ''f'' — изоморфизм на весь модуль ''F''.

Теперь определим групповое [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] ''K[G]''. Элементами этого кольца будут линейные комбинации ''k1g1+k2g2+...kngn''. Умножение определяется ''(k1g1)(k2g2)=(k1k2)(g1g2)'' и далее по линейности. Ясно, что ''K[G]'' кольцо. На пространстве ''V1''
определим умножение элемента из ''K[G]'' на элемент ''xÎ V1: (k1g1+k2g2+...kngn)x=k1σg1x+k2σg2x+...knσgnx''.
Тем самым мы превращаем ''V1'' в модуль над кольцом ''K[G]''. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. ''σ'' является представлением. ''V2'' аналогично, заменяя ''σ'' на ''τ'', будет модулем над ''K[G]'', а равенство ''τgf=fσg'' то, что отображение ''f'' является гомоморфизмом модулей. Так как ''V1'' и ''V2'' неприводимы, а это означает их простоту как модулей над ''K[G]'', то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного векторов ''x≠''0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию ''λ, fx=λx''.
Имеем для любого элемента '' gÎ G σg(f-λid)=(f-λid)σg'', причём для собственного вектора ''x≠'' 0 ''f-λ·id''=0. следовательно ''f-λ·id'' по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, ''f'' является умножением на некоторое λ.

== Литература ==

* Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
* Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп -М:, Мир, 1969

[[de:Lemma von Schur]]
[[en:Schur's lemma]]
[[fr:Lemme de Schur]]
[[it:Lemma di Schur]]
[[zh:舒尔引理]]
[[zh-yue:Schur引理]]

{{WikiCopyRight}}

[[Категория:Персоналии по алфавиту]]
[[Категория:Учёные по алфавиту]]
[[Категория:Математики по алфавиту]]{{checked_final}}[[Категория:Local]]

Лемма Шура - История изменений

MyBot в 20:53, 13 января 2014